قوانين حركة البندول

المحتوى

• TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم يقرأ)
• حركة متناغمة بسيطة
• قوانين البندول البسيط
• إشتقاق البندول البسيط
• العوامل المؤثرة في حركة البندول
• طول مثال البندول
• تعريف البندول البسيط
• قوانين نيوتن في البندول

البندول لها خصائص مثيرة للاهتمام يستخدمها الفيزيائيون لوصف الأشياء الأخرى. على سبيل المثال ، يتبع المدار الكوكبي نمطًا مشابهًا وقد يتأرجح التأرجح على مجموعة متأرجحة كأنك على البندول. هذه الخصائص تأتي من سلسلة من القوانين التي تحكم حركة البندول. من خلال تعلم هذه القوانين ، يمكنك البدء في فهم بعض المبادئ الأساسية للفيزياء والحركة بشكل عام.

TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم يقرأ)

يمكن وصف حركة البندول باستخدام θ (t) = θ_ماكسكوس (2πt / T) بحيث θ يمثل الزاوية بين السلسلة والخط العمودي أسفل المركز ، تي يمثل الوقت ، و تي هي الفترة ، والوقت اللازم لدورة واحدة كاملة لحركة البندول (الحد الأقصى) 1 / و) ، من الحركة للحصول على البندول.

حركة متناغمة بسيطة

حركة متناغمة بسيطة، أو الحركة التي تصف كيف تتذبذب سرعة الأجسام بما يتناسب مع مقدار الإزاحة من التوازن ، يمكن استخدامها لوصف معادلة البندول. يتم إبقاء البندول يتأرجح في الحركة من قبل هذه القوة التي تعمل عليها لأنها تتحرك ذهابا وإيابا.

••• سيد حسين آذر

أدت القوانين التي تحكم حركة البندول إلى اكتشاف خاصية مهمة. الفيزيائيون تقسيم القوات إلى عنصر الرأسي والأفقي. في حركة البندول ، ثلاث قوى تعمل مباشرة على البندول: كتلة البوب ​​والجاذبية والتوتر في الخيط. الكتلة والجاذبية كلاهما يعمل عموديا إلى أسفل. نظرًا لأن البندول لا يتحرك لأعلى أو لأسفل ، فإن المكون الرأسي لتوتر السلسلة يلغي الكتلة والجاذبية.

هذا يدل على أن كتلة البندول لا علاقة لها الحركة ، ولكن التوتر سلسلة أفقي لا. الحركة التوافقية البسيطة تشبه الحركة الدائرية. يمكنك وصف كائن يتحرك في مسار دائري كما هو موضح في الشكل أعلاه من خلال تحديد الزاوية ونصف القطر الذي يستغرقه في المسار الدائري المقابل. ثم ، باستخدام علم المثلثات في المثلث الأيمن بين مركز الدوائر وموضع الكائنات والتشريد في كلا الاتجاهين x و y ، يمكنك العثور على معادلات س = rsin (θ) و ص = rcos (θ).

المعادلة أحادية البعد لكائن ما في حركة متناغمة بسيطة معطى بواسطة س = ص كوس (ωt). يمكنك بديل آخر أ إلى عن على ص بحيث أ هل سعة، الحد الأقصى للنزوح من الكائنات الموقف الأولي.

السرعة الزاوية ω فيما يتعلق بالوقت تي لهذه الزوايا θ اعطي من قبل θ = ωt. إذا استبدلت المعادلة التي تربط السرعة الزاوية بالتردد F, ω = 2πf_ ، يمكنك أن تتخيل هذه الحركة الدائرية ، ثم ، كجزء من البندول يتأرجح ذهابًا وإيابًا ، إذن تكون معادلة الحركة التوافقية البسيطة الناتجة هي _x = A cos (2πfر).

قوانين البندول البسيط

••• سيد حسين آذر

البندول ، مثل الجماهير في الربيع ، هي أمثلة على التذبذبات التوافقي بسيطة: هناك قوة استعادة تزداد اعتمادًا على مدى نزوح البندول ، ويمكن وصف حركتهم باستخدام معادلة مذبذب التوافقي بسيطة θ (t) = θ_ماكسكوس (2πt / T) بحيث θ يمثل الزاوية بين السلسلة والخط العمودي أسفل المركز ، تي يمثل الوقت و تي هل فترة، الوقت اللازم لدورة واحدة كاملة لحركة البندول (تحدث بواسطة 1 / و) ، من الحركة للحصول على البندول.

θ_ماكس هي طريقة أخرى لتحديد الحد الأقصى للزاوية التي تتذبذب أثناء حركة البندولات وهي طريقة أخرى لتحديد سعة البندولات. يتم شرح هذه الخطوة أدناه تحت قسم "تعريف البندول البسيط".

الآثار الأخرى المترتبة على قوانين البندول البسيط هي أن فترة التذبذب بطول ثابت تكون مستقلة عن حجم وشكل وكتلة ومادة الكائن في نهاية السلسلة. يظهر هذا بوضوح من خلال اشتقاق البندول البسيط والمعادلات الناتجة.

إشتقاق البندول البسيط

يمكنك تحديد المعادلة ل البندول بسيط، التعريف الذي يعتمد على مذبذب توافقي بسيط ، من سلسلة من الخطوات التي تبدأ بمعادلة الحركة للبندول. نظرًا لأن قوة جاذبية البندول تساوي قوة حركة البندولات ، يمكنك ضبطها على بعضها البعض باستخدام قانون نيوتن الثاني مع كتلة البندول M، طول سلسلة L، زاوية θ, تسارع الجاذبية ز و الفاصل الزمني تي.

••• سيد حسين آذر

قمت بتعيين قانون نيوتن الثاني يساوي لحظة الجمود I = السيد²_ لبعض الكتلة _ م ونصف قطر الحركة الدائرية (طول السلسلة في هذه الحالة) ص أضعاف التسارع الزاوي α.

هناك طرق أخرى لصنع اشتقاق البندول البسيط. فهم المعنى وراء كل خطوة لنرى كيف هم ذات الصلة. يمكنك وصف حركة البندول البسيطة باستخدام هذه النظريات ، ولكن يجب أيضًا مراعاة العوامل الأخرى التي قد تؤثر على نظرية البندول البسيطة.

العوامل المؤثرة في حركة البندول

إذا قارنت نتيجة هذا الاشتقاق θ (t) = θ_ماكسcos (t (L / g)²) لمعادلة مذبذب متناسق بسيط (_θ (t) = θ_ماكسcos (2πt / T)) b_y حددهم متساوين لبعضهم البعض ، يمكنك استخلاص معادلة للفترة T.

لاحظ أن هذه المعادلة T = 2π (L / g)^-1/2 لا يعتمد على الكتلة M من البندول ، والسعة θ_ماكسولا في الوقت تي. هذا يعني أن الفترة مستقلة عن الكتلة والسعة والوقت ، ولكن بدلاً من ذلك تعتمد على طول السلسلة. فهو يوفر لك طريقة موجزة للتعبير عن حركة البندول.

طول مثال البندول

مع المعادلة لفترة T = 2π (L / g) __^-1/2، يمكنك إعادة ترتيب المعادلة للحصول على L = (T / 2_π)² / g_ والبديل 1 ثانية لـ تي و 9.8 م / ث² إلى عن على ز ليحصل L = 0.0025 م. ضع في اعتبارك أن هذه المعادلات الخاصة بنظرية البندول البسيطة تفترض أن طول السلسلة غير احتكاكي وبدون كتلة. إن أخذ هذه العوامل في الاعتبار سيتطلب معادلات أكثر تعقيدًا.

تعريف البندول البسيط

يمكنك سحب زاوية البندول θ للسماح لها بالتأرجح جيئة وذهابا لرؤيتها تتأرجح تماما مثل قوة الربيع. بالنسبة إلى البندول البسيط ، يمكنك وصفه باستخدام معادلات حركة المذبذب التوافقي البسيط. معادلة الحركة تعمل بشكل جيد لقيم زاوية أصغر و سعة، الزاوية القصوى ، لأن نموذج البندول البسيط يعتمد على تقريب ذلك الخطيئة (θ) ≈ θ لبعض زاوية البندول θ. نظرًا لأن قيم الزوايا والسعات تصبح أكبر من حوالي 20 درجة ، فإن هذا التقريب لا يعمل أيضًا.

جربه بنفسك. البندول يتأرجح بزاوية أولية كبيرة θ لن تتذبذب بشكل منتظم للسماح لك باستخدام مذبذب متناسق بسيط لوصف ذلك. بزاوية أولية أصغر θ، يقترب البندول من حركة تذبذبية منتظمة أكثر سهولة. نظرًا لأن كتلة البندول ليس لها أي تأثير على حركتها ، فقد أثبت الفيزيائيون أن جميع البندولات لها نفس الفترة لزوايا التذبذب - الزاوية بين مركز البندول عند أعلى نقطة لها ومركز البندول في موضعه الموقوف - أقل من 20 درجة.

لجميع الأغراض العملية لبندول في الحركة ، فإن البندول في نهاية المطاف سوف يتباطأ ويتوقف بسبب الاحتكاك بين الخيط ونقطة تثبيته أعلاه وكذلك بسبب مقاومة الهواء بين البندول والهواء المحيط به.

للحصول على أمثلة عملية لحركة البندول ، تعتمد الفترة والسرعة على نوع المادة المستخدمة التي من شأنها أن تسبب هذه الأمثلة من الاحتكاك ومقاومة الهواء. إذا قمت بإجراء عمليات حسابية على السلوك التذبذب النظري من البندول دون حساب هذه القوى ، فسيكون حساب البندول يتأرجح إلى ما لا نهاية.

قوانين نيوتن في البندول

يحدد قانون نيوتن الأول سرعة الأجسام استجابة للقوات. ينص القانون على أنه إذا تحرك جسم ما بسرعة محددة وفي خط مستقيم ، فسوف يستمر في التحرك بهذه السرعة وفي خط مستقيم ، إلى ما لا نهاية ، طالما لا توجد قوة أخرى تعمل عليه. تخيل رمي كرة مباشرة للأمام - فالكرة سوف تدور حول الأرض مرارًا وتكرارًا إذا لم تعمل مقاومة الهواء والجاذبية على ذلك. يوضح هذا القانون أنه نظرًا لأن البندول يتحرك جنبًا إلى جنب وليس لأعلى ولأسفل ، فإنه لا يوجد لديه قوى صعودًا وهبوطًا تعمل عليه.

يستخدم قانون نيوتن الثاني في تحديد القوة الصافية على البندول من خلال تعيين قوة الجاذبية مساوية لقوة السلسلة التي تسحب مرة أخرى على البندول. يتيح لك تعيين هذه المعادلات على قدم المساواة لبعضها البعض اشتقاق معادلات الحركة للبندول.

ينص قانون نيوتن الثالث على أن كل فعل له رد فعل بنفس القوة. يعمل هذا القانون مع القانون الأول الذي يوضح أنه على الرغم من أن الكتلة والجاذبية تلغيان المكون الرأسي لمتجه توتر السلسلة ، لا شيء يلغي المكون الأفقي. يوضح هذا القانون أن القوى المؤثرة على البندول يمكن أن تلغي بعضها البعض.

يستخدم الفيزيائيون قوانين نيوتن الأولى والثانية والثالثة لإثبات أن التوتر في السلسلة الأفقية يحرك البندول دون النظر إلى الكتلة أو الجاذبية. تتبع قوانين البندول البسيط أفكار نيوتن قوانين الحركة الثلاثة.