كيفية تبسيط الأرقام المعقدة

المحتوى

• TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم يقرأ)
• ما هو الرقم المركب؟
• القواعد الأساسية للجبر مع أرقام معقدة
• تقسيم الأعداد المركبة
• تبسيط الأرقام المعقدة

يتضمن الجبر غالبًا تبسيط التعبيرات ، ولكن بعض التعبيرات مربكة أكثر في التعامل معها من غيرها. الأرقام المعقدة تنطوي على الكمية المعروفة باسم أنا، رقم "وهمي" مع الممتلكات أنا = √ − 1. إذا كان عليك ببساطة تعبير يتضمن رقمًا معقدًا ، فقد يبدو الأمر مخيفًا ، لكنه عملية بسيطة تمامًا بمجرد أن تتعلم القواعد الأساسية.

TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم يقرأ)

تبسيط الأرقام المعقدة باتباع قواعد الجبر مع الأعداد المركبة.

ما هو الرقم المركب؟

يتم تعريف الأعداد المركبة بإدراجها في أنا مصطلح ، والذي هو الجذر التربيعي ناقص واحد. في الرياضيات على المستوى الأساسي ، لا توجد بالفعل جذور مربعة من الأرقام السالبة ، لكنها تظهر أحيانًا في مشاكل الجبر. يوضح الشكل العام لعدد مركب بنيتها:

ض = أ + ثنائية

أين ض تسميات الرقم المركب ، أ يمثل أي رقم (يسمى الجزء "الحقيقي") ، و ب يمثل رقمًا آخر (يُسمى الجزء "التخيلي") ، وكلاهما يمكن أن يكون إيجابًا أو سالبًا. مثال على ذلك رقم مركب هو:

ض = 2 −4_i_

حيث أن كل الجذور التربيعية للأعداد السالبة يمكن تمثيلها بمضاعفات أنا، هذا هو الشكل لجميع الأرقام المعقدة. من الناحية الفنية ، يصف الرقم العادي فقط حالة خاصة لرقم معقد حيث ب = 0 ، لذلك يمكن اعتبار جميع الأرقام معقدة.

القواعد الأساسية للجبر مع أرقام معقدة

لإضافة وطرح الأرقام المعقدة ، ببساطة إضافة أو طرح الأجزاء الحقيقية والخيالية بشكل منفصل. لذلك بالنسبة للأعداد المعقدة ض = 2 - 4_i_ و ث = 3 + 5_i_ ، المبلغ هو:

ض + ث = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

=(2 + 3) + (−4 + 5)أنا

= 5 + 1_i_ = 5 + أنا

طرح الأرقام يعمل بالطريقة نفسها:

ض − ث = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

= (2 − 3) + (−4 − 5)أنا

= −1 - 9_i_

الضرب هو عملية بسيطة أخرى بأرقام معقدة ، لأنها تعمل مثل الضرب العادي باستثناء أن تتذكر ذلك أنا² = −1. إذاً لحساب 3_i_ × −4_i_:

3_i_ × −4_i_ = −12_i_²

لكن منذ أنا²= −1 ، ثم:

-12_i_² = −12 ×−1 = 12

مع أرقام معقدة كاملة (باستخدام ض = 2 - 4_i_ و ث = 3 + 5_i_ مرة أخرى) ، يمكنك ضربهم بالطريقة نفسها التي تضرب بها الأرقام العادية مثل (أ + ب) (ج + د(باستخدام طريقة "الأولى ، الداخلية ، الخارجية ، الأخيرة" (FOIL) ، لإعطاء (أ + ب) (ج + د) = ميلان + قبل الميلاد + ميلادي + دينار بحريني. كل ما عليك أن تتذكره هو تبسيط أي حالات أنا². لذلك على سبيل المثال:

ض × ث = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_²

= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_

تقسيم الأعداد المركبة

ينطوي تقسيم الأعداد المركبة على ضرب البسط وقاسم الكسر بالعدد المتقارب للمقام. يقارن الحرف المركب فقط إصدار الرقم المركب مع عكس الجزء التخيلي في علامة. وذلك ل ض = 2 - 4_i_ ، المجمع المتقارن ض = 2 + 4_i_ ، ول ث = 3 + 5_i_ ، ث = 3 −5_i_. للمشكلة:

ض / ث = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)

المترافق المطلوب هو ث*. اقسم البسط والمقام على هذا لإعطاء:

ض / ث = (2 - 4_i_) (3 −5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

ثم تعمل كما في القسم السابق. البسط يعطي:

(2 - 4_i_) (3 −5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_²

= −14 - 22_i

والمقام يعطي:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_²

= 9 + 25 = 34

هذا يعنى:

ض / ث = (−14 - 22_i_) / 34

= / 14/34 - 22_i_ / 34

= −7/17 - 11_i_ / 17

تبسيط الأرقام المعقدة

استخدم القواعد أعلاه حسب الحاجة لتبسيط التعبيرات المعقدة. فمثلا:

ض = ((4 + 2_i_) + (2 - أنا)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ أنا))

يمكن تبسيط ذلك باستخدام قاعدة الإضافة في البسط ، وقاعدة الضرب في المقام ، ثم إكمال القسمة. لبسط:

(4 + 2_i_) + (2 - أنا) = 6 + أنا

للمقام:

(2 + 2_i _) (2+ أنا) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_²

= (4 - 2) + 6_i_

= 2 + 6_i_

إعادة وضع هذه العناصر في مكانها يعطي:

ض = (6 + أنا) / (2 + 6_i_)

ضرب كلا الجزئين بواسطة اقتران المقام يؤدي إلى:

ض = (6 + أنا) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_²) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_²)

= (18 - 34_i) / 40

= (9 - 17_i_) / 20

= 9/20 −17_i_ / 20

لذلك هذا يعني ض يبسط على النحو التالي:

ض = ((4 + 2_i_) + (2 - أنا)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ أنا)) = 9/20 −17_i_ / 20