المحتوى
بعبارات العالم الحقيقي ، القطع المكافئة هي القوس الذي تصنعه الكرة عند رميها ، أو الشكل المميز لطبق الأقمار الصناعية. من الناحية الرياضية ، شكل مكافئ الشكل الذي تحصل عليه عندما تقطع مخروطًا صلبًا بزاوية موازية لأحد جانبيها ، ولهذا السبب تُعرف باسم أحد "المقاطع المخروطية". إن أسهل طريقة للعثور على معادلة القطع المكافئة هي باستخدام معرفتك بنقطة خاصة ، تسمى الرأس ، والتي توجد على القطع المكافئ نفسه.
التعرف على الفورمولا
إذا رأيت معادلة من الدرجة الثانية في متغيرين ، من النموذج ص = الفأس2 + ب س + ج، حيث ≠ 0 ، ثم التهاني! كنت قد وجدت القطع المكافئة. أحيانًا ما تُعرف المعادلة التربيعية أيضًا بصيغة "المعيار النموذجي" للمكافئ.
ولكن إذا كنت قد عرضت رسمًا بيانيًا لأحد القطع المكافئة (أو أعطيت القليل من المعلومات حول المكافئ بصيغة أو "مشكلة الكلمة") ، فأنت تريد أن تكتب القطع المكشوفة في ما يعرف باسم نموذج الرأس ، والذي يبدو كما يلي:
ص = أ (س - ح)2 + ك (إذا كان المكافئ يفتح عموديا)
س = أ (ص - ك)2 + ح (إذا كان المكافئ يفتح أفقيا)
ما هي قمة الرأس من Parabola؟
في أي من الصيغتين ، تمثل الإحداثيات (h، k) رأس القطع المكافئ ، وهي النقطة التي يعبر فيها محور القطع المكافئ للتماثل خط القطع المكافئ ذاته. أو بعبارة أخرى ، إذا كنت ستطوي القطع المكافئ في منتصف اليمين أسفل المنتصف ، فإن قمة الرأس ستكون "ذروة" القطع المكافئ ، حيث تتقاطع مع ورقة.
إيجاد معادلة المكافئ
إذا طُلب منك العثور على معادلة القطع المكافئ ، فسوف يتم إخبارك برأس المقطع المكافئ ونقطة واحدة أخرى على الأقل ، أو ستحصل على معلومات كافية لمعرفة تلك. بمجرد الحصول على هذه المعلومات ، يمكنك العثور على معادلة المكافئ في ثلاث خطوات.
دعونا نفعل مشكلة مثال لنرى كيف يعمل. تخيل أنك تعطى مكافئًا في شكل رسم بياني. أخبرتم أن قمة الرأس المكافئة هي عند النقطة (1،2) ، وأنها تفتح رأسيا وأن هناك نقطة أخرى على القطع المكافئ (3،5). ما هي معادلة المكافئ؟
يجب أن تكون الأولوية الأولى بالنسبة لك هي تحديد نوع معادلة الرأس التي ستستخدمها. تذكر أنه إذا تم فتح القطع المكافئ رأسيًا (مما قد يعني أن الجانب المفتوح من U يواجه لأعلى أو لأسفل) ، فستستخدم هذه المعادلة:
ص = أ (س - ح)2 + ك
وإذا تم فتح المكافئ أفقيًا (مما قد يعني أن الجانب المفتوح من U يواجه اليمين أو اليسار) ، فستستخدم هذه المعادلة:
س = أ (ص - ك)2 + ح
لأن المثال المكافئ يفتح عموديا ، يتيح استخدام المعادلة الأولى.
بعد ذلك ، استبدل إحداثيات رأس القطع المكافئ (h ، k) في الصيغة التي اخترتها في الخطوة 1. نظرًا لأنك تعلم أن قمة الرأس هي في (1،2) ، فستكون بديلاً في h = 1 و k = 2 ، مما يوفر لك ما يلي :
ص = أ (س - 1)2 + 2
آخر شيء عليك القيام به هو العثور على قيمة أ. للقيام بذلك ، اختر أي نقطة (س، ص) على المكافئ ، طالما أن هذه النقطة ليست هي قمة الرأس ، واستبدله في المعادلة.
في هذه الحالة ، تم إعطاؤك إحداثيات نقطة أخرى على الرأس: (3،5). لذلك سوف تكون بديلاً في x = 3 و y = 5 ، مما يمنحك:
5 = أ (3 - 1)2 + 2
الآن كل ما عليك فعله هو حل هذه المعادلة أ. القليل من التبسيط يحصل على ما يلي:
5 = أ (2)2 + 2، والتي يمكن تبسيطها إلى:
5 = أ (4) + 2والذي بدوره يصبح:
3 = أ (4)وأخيرا:
أ = 3/4
والآن بعد أن وجدت قيمة أ، استبدلها في المعادلة لإنهاء المثال:
ذ = (3/4) (س - 1)2 + 2 هي معادلة القطع المكافئة ذات الرأس (1،2) والتي تحتوي على النقطة (3،5).