المحتوى
في الرياضيات ، تنشأ الحاجة في بعض الأحيان لإثبات ما إذا كانت الوظائف تعتمد أو مستقلة عن بعضها البعض بالمعنى الخطي. إذا كان لديك وظيفتان تعتمدان على خطي ، فإن رسم معادلات هذه الوظائف يؤدي إلى نقاط تتداخل. وظائف معادلات مستقلة لا تتداخل عند رسم بياني. طريقة واحدة لتحديد ما إذا كانت الدالات تعتمد أو مستقلة هي حساب Wronskian للوظائف.
ما هو Wronskian؟
يُعرف Wronskian لوظائفتين أو أكثر بأنه المحدد ، وهي وظيفة خاصة تُستخدم لمقارنة الأشياء الرياضية وإثبات بعض الحقائق عنها. في حالة Wronskian ، يتم استخدام المحدد لإثبات الاعتماد أو الاستقلال بين وظيفتين خطيتين أو أكثر.
المصفوفة Wronskian
لحساب Wronskian للوظائف الخطية ، يجب حل الوظائف بنفس القيمة داخل مصفوفة تحتوي على كل من الدالات ومشتقاتها. مثال على ذلك هو W (f ، g) (t) = | FF((تيتي)) زز((تيتي)) | ، والذي يوفر Wronskian لوظائف اثنين (و و ز) التي يتم حلها لقيمة واحدة أكبر من الصفر (ر) ؛ يمكنك رؤية الدالتين f (t) و g (t) في الصف العلوي من المصفوفة ، والمشتقات f (t) و g (t) في الصف السفلي. لاحظ أنه يمكن استخدام Wronskian لمجموعات أكبر أيضًا. على سبيل المثال ، إذا قمت باختبار ثلاث وظائف باستخدام Wronskian ، يمكنك ملء مصفوفة بالوظائف ومشتقاتها f (t) و g (t) و h (t).
حل Wronskian
بمجرد الانتهاء من ترتيب الوظائف في مصفوفة ، اضرب كل وظيفة في مقابل مشتق من الوظيفة الأخرى وطرح القيمة الأولى من الثانية. على سبيل المثال أعلاه ، يمنحك هذا W (f ، g) (t) = f (t) g (t) - g (t) f (t). إذا كانت الإجابة النهائية تساوي الصفر ، فهذا يدل على أن الوظيفتين تعتمدان. إذا كانت الإجابة شيء آخر بخلاف الصفر ، فإن الوظائف تكون مستقلة.
مثال خاطئ
لإعطائك فكرة أفضل عن كيفية عمل ذلك ، افترض أن f (t) = x + 3 و g (t) = x - 2. باستخدام قيمة t = 1 ، يمكنك حل الوظائف كـ f (1) = 4 و g (1) = -1. نظرًا لأن هذه وظائف خطية أساسية ذات ميل 1 ، فإن مشتقات كلا f (t) و g (t) تساوي 1. ضرب قيمك المتضاعفة يعطي W (f ، g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1) ، والتي توفر النتيجة النهائية لل 5. على الرغم من أن كل من الدوال الخطية لها نفس الميل ، إلا أنها مستقلة لأن نقاطها يجب ألا تتداخل. إذا كانت f (t) قد أسفرت عن نتيجة -1 بدلاً من 4 ، لكان Wronskian قد أعطى نتيجة صفر بدلاً من ذلك للإشارة إلى الاعتماد.