كيفية العثور على عكس دالة

المحتوى

• TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم يقرأ)
• عكس وظيفة محددة
• نهج الجبر لوظيفة عكسية
• الدوال المثلثية العكسية
• الرسم البياني للوظيفة والعكس

للعثور على دالة عكسية في الرياضيات ، يجب أن يكون لديك وظيفة أولاً. يمكن أن يكون أي مجموعة من العمليات تقريبًا للمتغير المستقل x الذي يعطي قيمة للمتغير التابع y. بشكل عام ، لتحديد عكس دالة x ، استبدل y بـ x و x لـ y في الوظيفة ، ثم حل لـ x.

TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم يقرأ)

بشكل عام ، لإيجاد عكس دالة x ، استبدل y بـ x و x لـ y في الوظيفة ، ثم حل لـ x.

عكس وظيفة محددة

التعريف الرياضي للدالة هو العلاقة (x ، y) التي توجد لها قيمة واحدة فقط y لأي قيمة x. على سبيل المثال ، عندما تكون قيمة x هي 3 ، تكون العلاقة عبارة عن دالة إذا كانت y لها قيمة واحدة فقط ، مثل 10. يأخذ معكوس دالة قيم y للدالة الأصلية كقيم x الخاصة بها ، وتنتج قيم y تلك هي قيم الوظيفة الأصلية. على سبيل المثال ، إذا أرجعت الدالة الأصلية القيم y 1 و 3 و 10 عندما كان المتغير x لها القيم 0 و 1 و 2 ، فسوف تُرجع الدالة المعكوسة القيم y 0 و 1 و 2 عندما تحتوي المتغير x على القيم 1 ، 3 و 10. بشكل أساسي ، تقوم دالة عكسية بتبديل قيمتي x و y في الأصل. في اللغة الرياضية ، إذا كانت الوظيفة الأصلية هي f (x) والعكس هو g (x) ، ثم g (f (x)) = x.

نهج الجبر لوظيفة عكسية

للعثور على معكوس دالة تتضمن المتغيرين ، x و y ، استبدل المصطلحات x بعبارات y و المصطلحات y ب x ، وحل لـ x. على سبيل المثال ، خذ المعادلة الخطية ، y = 7x - 15.

y = 7x - 15 الوظيفة الأصلية
x = 7y - 15 استبدل y ب x و x ب y.
x + 15 = 7y - 15 + 15 أضف 15 إلى الطرفين.
x + 15 = 7y تبسيط
(x + 15) / 7 = 7y / 7 اقسم الطرفين على 7.
(x + 15) / 7 = ص بسّط

الدالة ، (x + 15) / 7 = y هي عكس الأصل.

الدوال المثلثية العكسية

للعثور على معكوس دالة مثلثية ، من المفيد أن تعرف كل وظائف علم حساب المثلثات وعكسها. على سبيل المثال ، إذا كنت ترغب في العثور على عكس y = sin (x) ، فأنت بحاجة إلى معرفة أن معكوس الدالة الجيبية هي وظيفة arcsine ؛ لن تحصل على أي جبر بسيط بدون أركسين (x). وظائف علم حساب المثلثات الأخرى ، جيب التمام ، الظل ، cosecant ، secant و cotangent ، لديها وظائف معكوسة أركوسين ، قوس شفاف ، arccosecant ، arcsecant و arcotangent ، على التوالي. على سبيل المثال ، معكوس y = cos (x) هو y = arccos (x).

الرسم البياني للوظيفة والعكس

الرسم البياني للدالة وعكسها مثير للاهتمام. عندما تقوم برسم المنحنيتين ، ثم ترسم خطًا يتوافق مع الوظيفة ، y = x ، ستلاحظ أن السطر يظهر كـ "مرآة". أي منحنى أو خط أسفل y = x "ينعكس" بشكل متماثل فوقه. هذا صحيح بالنسبة لأي وظيفة ، سواء كانت متعدّدة الحدود أو مثلثية أو أسي أو خطية. باستخدام هذا المبدأ ، يمكنك توضيح معكوس دالة ما بيانًا بيانيًا عن طريق رسم الوظيفة الأصلية ورسم الخط عند y = x ، ثم رسم المنحنيات أو الخطوط اللازمة لإنشاء "صورة معكوسة" لها y = x كمحور لـ تناظر.