كيفية حساب القيم الذاتية

المحتوى

• المصفوفات ، القيم الذاتية و القيم الذاتية: ماذا تعني
• كيفية حساب القيم الذاتية
• نصائح
• العثور على Eigenvectors

عندما يتم تقديمك بمصفوفة في فصل الرياضيات أو الفيزياء ، فغالبًا ما يُطلب منك العثور على قيمها الذاتية. إذا لم تكن متأكدًا من معنى ذلك أو كيفية القيام بذلك ، فالمهمة شاقة ، وتتضمن الكثير من المصطلحات المربكة التي تزيد الأمور سوءًا. ومع ذلك ، فإن عملية حساب القيم الذاتية ليست صعبة للغاية إذا كنت مرتاحًا لحل المعادلات التربيعية (أو متعددة الحدود) ، شريطة أن تتعلم أساسيات المصفوفات والقيم الذاتية والموجهات الذاتية.

المصفوفات ، القيم الذاتية و القيم الذاتية: ماذا تعني

المصفوفات هي عبارة عن صفيفات للأرقام حيث تمثل A اسم المصفوفة العامة ، مثل هذا:

( 1 3 )

أ = ( 4 2 )

تختلف الأرقام في كل موقف ، وقد يكون هناك تعبيرات جبرية في مكانها. هذه مصفوفة 2 × 2 ، لكنها تأتي في مجموعة متنوعة من الأحجام ولا تحتوي دائمًا على أعداد متساوية من الصفوف والأعمدة.

يختلف التعامل مع المصفوفات عن التعامل مع الأرقام العادية ، وهناك قواعد محددة لضربها وتقسيمها وإضافتها وطرحها من بعضها البعض. يتم استخدام مصطلحي "eigenvalue" و "eigenvector" في جبر المصفوفة للإشارة إلى كميتين مميزتين فيما يتعلق بالمصفوفة. تساعدك مشكلة القيمة الذاتية هذه على فهم معنى المصطلح:

أ ∙ الخامس = λ ∙ الخامس

أ هي مصفوفة عامة كما كان من قبل ، الخامس هو بعض المتجهات ، و λ هي قيمة مميزة. انظر إلى المعادلة ولاحظ أنه عند ضرب المصفوفة بواسطة المتجه الخامس، التأثير هو إعادة إنتاج نفس المتجه مضروبًا في القيمة λ. هذا سلوك غير عادي ويكسب المتجه الخامس والكمية names أسماء خاصة: eigenvector و eigenvalue. هذه هي القيم المميزة للمصفوفة لأن ضرب المصفوفة بواسطة المتجه eigenvector يترك المتجه دون تغيير بعيدًا عن الضرب بعامل القيمة الذاتية.

كيفية حساب القيم الذاتية

إذا كانت لديك مشكلة في القيمة الذاتية للمصفوفة في شكل ما ، فسيكون من السهل العثور على القيمة الذاتية (لأن النتيجة ستكون متجهة كما هي في الأصل ، باستثناء مضروبة في عامل ثابت - القيمة الذاتية). تم العثور على الإجابة عن طريق حل المعادلة المميزة للمصفوفة:

det (أ – λأنا) = 0

أين أنا هي مصفوفة الهوية ، والتي هي فارغة بصرف النظر عن سلسلة من 1S تعمل قطريا أسفل المصفوفة. يشير "Det" إلى محدد المصفوفة ، والذي بالنسبة للمصفوفة العامة:

(أ ب)

أ = (ج د)

اعطي من قبل

ديت أ = الإعلان - قبل الميلاد

لذلك المعادلة المميزة تعني:

(أ - ب)

det (أ – λأنا) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

كمثال مصفوفة ، دعونا نحدد أ مثل:

( 0 1 )

أ = (−2 −3 )

إذن هذا يعنى:

det (أ – λأنا) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0

= −λ (−3 – λ) + 2

= λ² + 3 λ + 2 = 0

حلول λ هي القيم الذاتية ، ويمكنك حلها مثل أي معادلة من الدرجة الثانية. الحلول هي λ = - 1 و λ = - 2.

نصائح

العثور على Eigenvectors

العثور على eigenvectors هو عملية مماثلة. باستخدام المعادلة:

(أ – λ) ∙ الخامس = 0

مع كل من القيم الذاتية التي عثر عليها بدورها. هذا يعنى:

(a - λ b) (v₁ ) (a - λ) v₁ + ب ضد₂ (0)

(أ – λ) ∙ الخامس = (c d - λ) ∙ (v₂ ) = ج ضد₁ + (d - λ) v₂ = (0)

يمكنك حل هذا عن طريق النظر في كل صف بدوره. ما عليك سوى نسبة الخامس₁ إلى الخامس₂، لأنه سيكون هناك العديد من الحلول المحتملة بلا حدود ل الخامس₁ و الخامس₂.