كيف تجد المعادلة الأسية بنقطتين

المحتوى

• لماذا الدوال الأسية مهمة؟
• من زوج من النقاط إلى الرسم البياني
• نقطة واحدة على المحور السيني
• لا نقطة على المحور س
• مثال من العالم الحقيقي

إذا كنت تعرف نقطتين تقعان على منحنٍ أسي معين ، يمكنك تحديد المنحنى عن طريق حل الدالة الأسية العامة باستخدام تلك النقاط. في الممارسة العملية ، هذا يعني استبدال النقاط لـ y و x في المعادلة y = ab^إكس. يكون الإجراء أسهل إذا كانت قيمة x لإحدى النقاط هي 0 ، مما يعني أن النقطة على المحور ص. إذا لم يكن لأي من النقطتين قيمة صفرية x ، فعملية حل x و y تكون صبيًا أكثر تعقيدًا.

لماذا الدوال الأسية مهمة؟

تتبع العديد من الأنظمة المهمة أنماط النمو الأسي والتسوس. على سبيل المثال ، يزيد عدد البكتيريا في المستعمرة عادة بشكل كبير ، وعادة ما يتناقص الإشعاع المحيط في الغلاف الجوي بعد الحدث النووي بشكل كبير. من خلال أخذ البيانات والتخطيط لمنحنى ، يكون العلماء في وضع أفضل لوضع التنبؤات.

من زوج من النقاط إلى الرسم البياني

يمكن تمثيل أي نقطة على رسم بياني ثنائي الأبعاد برقمين ، يتم كتابتهما عادة بالشكل (x ، y) ، حيث تحدد x المسافة الأفقية من الأصل وتمثل y المسافة العمودية. على سبيل المثال ، النقطة (2 ، 3) هي وحدتين على يمين المحور ص وثلاث وحدات فوق المحور س. من ناحية أخرى ، فإن النقطة (-2 ، -3) هي وحدتين على يسار المحور ص. وثلاث وحدات تحت المحور س.

إذا كان لديك نقطتين ، (س₁، ذ₁) و (س₂، ذ₂) ، يمكنك تحديد الدالة الأسية التي تمر عبر هذه النقاط عن طريق استبدالها في المعادلة y = ab^إكس وحل ل وب. بشكل عام ، عليك حل زوج المعادلات هذا:

ذ₁ = أب^X1 و ذ₂ = أب^X2، .

في هذا النموذج ، تبدو الرياضيات معقدة بعض الشيء ، لكنها تبدو أقل بعد قيامك ببعض الأمثلة.

نقطة واحدة على المحور السيني

إذا كانت إحدى قيم x - قل x₁ - هي 0 ، تصبح العملية بسيطة للغاية. على سبيل المثال ، يؤدي حل المعادلة للنقطتين (0 ، 2) و (2 ، 4) إلى:

2 = أب⁰ و 4 = أب². لأننا نعرف ذلك ب⁰ = 1 ، تصبح المعادلة الأولى 2 = أ. استبدال a في المعادلة الثانية يؤدي إلى 4 = 2b²، والتي نبسطها إلى ب² = 2 ، أو b = الجذر التربيعي لـ 2 ، أي ما يعادل 1.41 تقريبًا. وظيفة تحديد هو ثم ذ = 2 (1.41)^إكس.

لا نقطة على المحور س

إذا لم تكن قيمة x صفرية ، يكون حل زوج المعادلات أكثر تعقيدًا. يقدم لنا Henochmath مثالاً سهلاً لتوضيح هذا الإجراء. في مثاله ، اختار زوج النقاط (2 ، 3) و (4 ، 27). هذا يعطي زوج المعادلات التالي:

27 = أب⁴

3 = أب²

إذا قسمت المعادلة الأولى على الثانية ، فستحصل عليها

9 = ب²

لذلك b = 3. من الممكن أن تكون b مساوية لـ -3 ، ولكن في هذه الحالة ، افترض إيجابية.

يمكنك استبدال هذه القيمة ب في أي من المعادلات للحصول على. من الأسهل استخدام المعادلة الثانية ، لذلك:

3 = أ (3)² والتي يمكن تبسيطها إلى 3 = a9 ، a = 3/9 أو 1/3.

يمكن كتابة المعادلة التي تمر عبر هذه النقاط كـ ذ = 1/3 (3)^إكس.

مثال من العالم الحقيقي

منذ عام 1910 ، كان النمو السكاني البشري كبيرًا ، وبتخطيط منحنى النمو ، أصبح العلماء في وضع أفضل للتنبؤ بالمستقبل والتخطيط له. في عام 1910 ، كان عدد سكان العالم 1.75 مليار ، وفي عام 2010 ، كان 6.87 مليار. أخذ 1910 كنقطة بداية ، وهذا يعطي زوج من النقاط (0 ، 1.75) و (100 ، 6.87). نظرًا لأن قيمة x الخاصة بالنقطة الأولى هي صفر ، فيمكننا بسهولة إيجاد أ.

1.75 = أب⁰ أو = 1.75. ينتج عن توصيل هذه القيمة إلى جانب المعادلة الأسية العامة 6.87 = 1.75b¹⁰⁰، والذي يعطي قيمة b كجذر مائة لـ 6.87 / 1.75 أو 3.93. لذلك تصبح المعادلة ذ = 1.75 (الجذر المائة في 3.93)^إكس. على الرغم من أن الأمر يتطلب أكثر من قاعدة شريحة للقيام بذلك ، يمكن للعلماء استخدام هذه المعادلة لإسقاط أعداد السكان في المستقبل لمساعدة السياسيين في الوقت الحاضر على وضع سياسات مناسبة.