كيفية حل نظام المعادلات

المحتوى

• حل نظام المعادلات عن طريق الاستبدال
• نصائح
• حل نظام المعادلات بالقضاء
• حل نظام المعادلات من خلال الرسوم البيانية

يبدو حل نظام المعادلات المتزامنة مهمة شاقة للغاية في البداية. مع وجود أكثر من كمية مجهولة للعثور على القيمة ، وعلى ما يبدو طريقة قليلة جدًا لفك تشفير أحد المتغيرات عن الآخر ، يمكن أن يكون هذا صداعًا للأشخاص الجدد على الجبر. ومع ذلك ، هناك ثلاث طرق مختلفة لإيجاد حل المعادلة ، مع اعتماد أكثر على الجبر وكونه أكثر موثوقية قليلاً ، والآخر يحول النظام إلى سلسلة من الخطوط على الرسم البياني.

حل نظام المعادلات عن طريق الاستبدال

حل نظام المعادلات المتزامنة عن طريق الاستبدال بالتعبير أولاً عن متغير واحد من حيث الآخر. باستخدام هذه المعادلات كمثال:

إكس – ذ = 5

3_x_ + 2_y_ = 5

أعد ترتيب أبسط معادلة للعمل بها واستخدمها لإدراجها في المعادلة الثانية. في هذه الحالة ، مضيفا ذ لكلا طرفي المعادلة الأولى يعطي:

إكس = ذ + 5

استخدم التعبير لـ إكس في المعادلة الثانية لإنتاج معادلة مع متغير واحد. في المثال ، هذا يجعل المعادلة الثانية:

3 × (ذ + 5) + 2_y_ = 5

3_y_ + 15 + 2_y_ = 5

اجمع المصطلحات المشابهة للحصول على:

5_y_ + 15 = 5

إعادة ترتيب وحل ل ذ، بدءًا بطرح 15 من كلا الجانبين:

5_y_ = 5 - 15 = −10

تقسيم كلا الجانبين على 5 يعطي:

ذ = −10 ÷ 5 = −2

وبالتالي ذ = −2.

أدخل هذه النتيجة في أي من المعادلات لحل المتغير الباقي. في نهاية الخطوة 1 ، وجدت أن:




إكس = ذ + 5

استخدم القيمة التي عثرت عليها ذ لتأخذ، لتمتلك:

إكس = −2 + 5 = 3

وبالتالي إكس = 3 و ذ = −2.

نصائح

حل نظام المعادلات بالقضاء

انظر إلى معادلاتك لإيجاد متغير لإزالته:

إكس – ذ = 5

3_x_ + 2_y_ = 5

في المثال ، يمكنك أن ترى أن معادلة واحدة لديها -ذ والآخر لديه + 2_y_. إذا قمت بإضافة ضعف المعادلة الأولى إلى الثانية ، فإن ذ شروط إلغاء و ذ سيتم القضاء عليها. في حالات أخرى (على سبيل المثال ، إذا كنت تريد القضاء عليها إكس) ، يمكنك أيضًا طرح مضاعف لمعادلة واحدة من الأخرى.

اضرب المعادلة الأولى برقمين لتحضيرها لطريقة الإلغاء:

2 × (إكس – ذ) = 2 × 5

وبالتالي

2_x_ - 2_y_ = 10

احذف المتغير الذي اخترته بإضافة أو طرح معادلة واحدة من الأخرى. في المثال ، أضف الإصدار الجديد من المعادلة الأولى إلى المعادلة الثانية للحصول على:




3_x_ + 2_y_ + (2_x_ - 2_y_) = 5 + 10

3_x_ + 2_x_ + 2_y_ - 2_y_ = 15

وهذا يعني:

5_x_ = 15

حل للمتغير المتبقي. في المثال ، قسّم كلا الجانبين على 5 للحصول على:

إكس = 15 ÷ 5 = 3

كما كان من قبل.

كما في النهج السابق ، عندما يكون لديك متغير واحد ، يمكنك إدراج هذا في التعبير إما وإعادة ترتيب للعثور على الثاني. باستخدام المعادلة الثانية:

3_x_ + 2_y_ = 5

منذ ذلك الحين إكس = 3:

3 × 3 + 2_y_ = 5

9 + 2_y_ = 5

اطرح 9 من كلا الجانبين للحصول على:

2_y_ = 5 - 9 = −4

أخيرًا ، قسّم على اثنين للحصول على:

ذ = −4 ÷ 2 = −2

حل نظام المعادلات من خلال الرسوم البيانية

حل أنظمة المعادلات مع الحد الأدنى من الجبر من خلال رسم بياني لكل معادلة والبحث عن إكس و ذ القيمة حيث تتقاطع الخطوط. تحويل كل معادلة إلى نموذج تقاطع الميل (ذ = MX + ب) أول.

المثال الأول هو المعادلة:

إكس – ذ = 5

هذا يمكن تحويلها بسهولة. إضافة ذ لكلا الجانبين ثم قم بطرح 5 من كلا الجانبين للحصول على:

ذ = إكس – 5

الذي لديه منحدر م = 1 و ذتقاطع ب = −5.

المعادلة الثانية هي:

3_x_ + 2_y_ = 5

اطرح 3_x_ من كلا الجانبين للحصول على:

2_y_ = −3_x_ + 5

ثم قسّم على 2 للحصول على شكل تقاطع الميل:

ذ = −3_x_ / 2 + 5/2

لذلك هذا لديه منحدر م = -3/2 و ذتقاطع ب = 5/2.

استخدم ال ذ اعتراض القيم والمنحدرات لرسم كلا الخطين على الرسم البياني. المعادلة الأولى تعبر ذ محور في ذ = −5 ، و ذ القيمة تزيد بنسبة 1 في كل مرة إكس تزيد القيمة بمقدار 1. هذا يجعل الخط سهل الرسم.

المعادلة الثانية تعبر ذ محور في 5/2 = 2.5. انها المنحدرات إلى أسفل ، و ذ تنخفض القيمة بنسبة 1.5 في كل مرة إكس قيمة تزيد بمقدار 1. يمكنك حساب ذ قيمة لأي نقطة على إكس محور باستخدام المعادلة إذا كان أسهل.

حدد النقطة التي تتقاطع فيها الخطوط. هذا يعطيك كل من إكس و ذ إحداثيات الحل لنظام المعادلات.