كيف تجد جذور كثيرات الحدود

المحتوى

• كم عدد الجذور؟
• تحذيرات
• البحث عن الجذور بالعامل: مثال 1
• البحث عن الجذور بالعامل: مثال 2
• البحث عن الجذور عن طريق الرسوم البيانية

وتسمى جذور كثير الحدود أيضا أصفارها ، لأن الجذور هي إكس القيم التي تساوي فيها الوظيفة الصفر. عندما يتعلق الأمر بالعثور على الجذور ، لديك تقنيات متعددة تحت تصرفك ؛ العوملة هي الطريقة التي تستخدمها بشكل متكرر ، على الرغم من أن الرسوم البيانية يمكن أن تكون مفيدة أيضًا.

كم عدد الجذور؟

دراسة أعلى درجة درجة من متعدد الحدود - وهذا هو المصطلح مع أعلى الأس. هذا الأس هو عدد الجذور التي سيكون لها كثير الحدود. لذلك إذا كان أعلى الأسس في كثير الحدود هو 2 ، فسوف يكون له جذران ؛ إذا كان أعلى الأسس هو 3 ، فسيكون له ثلاثة جذور ؛ وهلم جرا.

تحذيرات

البحث عن الجذور بالعامل: مثال 1

الطريقة الأكثر تنوعًا في العثور على الجذور هي أخذ الحدود المتعددة الحدود في الحسبان بأكبر قدر ممكن ، ثم تحديد كل مصطلح يساوي الصفر. هذا يجعل الشعور أكثر بكثير بمجرد اتباعك لأمثلة قليلة. النظر في كثير الحدود بسيط إكس² - 4_x: _

يظهر فحص موجز أنه يمكنك عامل إكس من كلا المصطلحين متعددو الحدود ، والذي يمنحك:

إكس(إكس – 4)

اضبط كل مصطلح على الصفر. وهذا يعني حل لمعادلتين:

إكس = 0 هو أول مصطلح يتم تعيينه على الصفر ، و

إكس - 4 = 0 هو المصطلح الثاني المحدد على الصفر.

لديك بالفعل الحل للولاية الأولى. إذا إكس = 0 ، ثم التعبير بأكمله يساوي الصفر. وبالتالي إكس = 0 هي واحدة من جذور ، أو أصفار ، متعدد الحدود.




الآن ، النظر في المصطلح الثاني وحل ل إكس. إذا أضفت 4 إلى كلا الجانبين ، فستكون لديك:

إكس - 4 + 4 = 0 + 4 ، والذي يبسط إلى:

إكس = 4. إذا كان الأمر كذلك إكس = 4 ثم العامل الثاني يساوي الصفر ، مما يعني أن كثير الحدود يساوي الصفر أيضًا.

نظرًا لأن متعدد الحدود الأصلي كان من الدرجة الثانية (كان أعلى الأس اثنين) ، فأنت تعلم أن هناك جذرين محتملين لهذا متعدّد الحدود. لقد عثرت عليهما بالفعل ، لذا كل ما عليك فعله هو سردهما:

إكس = 0, إكس = 4

البحث عن الجذور بالعامل: مثال 2

هيريس مثال آخر على كيفية العثور على الجذور عن طريق العوملة ، وذلك باستخدام بعض الجبر الهوى على طول الطريق. النظر في كثير الحدود إكس⁴ - 16. نظرة سريعة على الأسس توضح لك أنه يجب أن يكون هناك أربعة جذور لهذه الحدود. الآن حان الوقت للعثور عليهم.

هل لاحظت أن هذا كثير الحدود يمكن إعادة كتابته على أنه اختلاف المربعات؟ لذلك بدلا من إكس⁴ - 16 ، لديك:

(إكس²)² – 4²




والتي ، باستخدام الصيغة لفرق المربعات ، عوامل إلى ما يلي:

(إكس² – 4)(إكس² + 4)

المصطلح الأول هو ، مرة أخرى ، اختلاف المربعات. لذلك ، على الرغم من عدم قدرتك على تحديد المصطلح الموجود على اليمين أكثر من ذلك ، يمكنك معالجة المصطلح على اليسار خطوة واحدة أكثر:

(إكس – 2)(إكس + 2)(إكس² + 4)

الآن حان الوقت للعثور على الأصفار. سرعان ما يصبح من الواضح أنه إذا إكس = 2 ، العامل الأول يساوي الصفر ، وبالتالي فإن التعبير بأكمله يساوي الصفر.

وبالمثل ، إذا إكس = -2 ، والعامل الثاني يساوي الصفر ، وبالتالي فإن التعبير بأكمله.

وبالتالي إكس = 2 و إكس = -2 كلاهما أصفار ، أو جذور ، لهذا كثير الحدود.

ولكن ماذا عن هذا المصطلح الأخير؟ لأنه يحتوي على "2" ، يجب أن يكون له جذران. لكن لا يمكنك معالجة هذا التعبير باستخدام الأرقام الحقيقية التي اعتدت عليها. يجب عليك استخدام مفهوم رياضي متقدم جدًا يسمى الأرقام المتخيلة أو ، إذا كنت تفضل ذلك ، الأرقام المعقدة. هذا أبعد من نطاق ممارسة الرياضيات الحالية ، لذلك في الوقت الحالي يكفي أن نلاحظ أن لديك جذور حقيقية (2 و -2) ، وجذران وهميان ستتركهما غير معروفين.

البحث عن الجذور عن طريق الرسوم البيانية

يمكنك أيضًا العثور على جذور أو تقديرها على الأقل من خلال الرسوم البيانية. يمثل كل جذر بقعة حيث يعبر الرسم البياني للوظيفة إكس محور. حتى إذا كنت الرسم البياني خارج الخط ثم لاحظ إكس ينسق حيث يعبر الخط إكس محور ، يمكنك إدراج المقدرة إكس قيم تلك النقاط في المعادلة الخاصة بك وتحقق لمعرفة ما إذا كنت قد حصلت عليها صحيحة.

النظر في المثال الأول الذي عملت ، ل متعدد الحدود إكس² - 4_x_. إذا قمت بسحبه بعناية ، فسترى أن الخط يعبر الحدود إكس محور في إكس = 0 و إكس = 4. إذا قمت بإدخال كل من هذه القيم في المعادلة الأصلية ، فستحصل على:

0² - 4 (0) = 0 ، إكس = 0 كان صفرا صحيحا أو جذرًا لهذه الحدود.

4² - 4 (4) = 0 ، إكس = 4 هو أيضًا صفر صحيح أو جذر لهذا كثير الحدود. ولأن متعدد الحدود كان من الدرجة الثانية ، فأنت تعلم أنه يمكنك التوقف عن البحث عن جذور.