المحتوى
إحدى العمليات المهمة التي تقوم بها في حساب التفاضل والتكامل هي إيجاد المشتقات. يُطلق على مشتق الدالة أيضًا معدل تغيير تلك الوظيفة. على سبيل المثال ، إذا كانت x (t) هي موضع السيارة في أي وقت t ، فإن مشتق x ، وهو مكتوب dx / dt ، هو سرعة السيارة. أيضا ، يمكن تصور المشتق كميل لخط الظل إلى الرسم البياني للدالة. على المستوى النظري ، هكذا يجد علماء الرياضيات مشتقات. في الممارسة العملية ، يستخدم علماء الرياضيات مجموعات من القواعد الأساسية وجداول البحث.
المشتق كمنحدر
ميل الخط بين نقطتين هو الارتفاع ، أو الفرق في قيم y مقسومًا على المدى ، أو الفرق في قيم x. يتم تعريف ميل الدالة y (x) لقيمة معينة من x بأنه ميل الخط المماثل للدالة في هذه النقطة. لحساب الميل ، تقوم ببناء خط بين النقطة ونقطة قريبة ، حيث يكون h عددًا صغيرًا للغاية. بالنسبة لهذا الخط ، يكون التشغيل ، أو التغيير في قيمة x هو h ، والارتفاع ، أو التغيير في قيمة y ، هو y (x + h) - y (x). وبالتالي ، فإن ميل y (x) عند النقطة يساوي تقريبًا / = / h. للحصول على المنحدر بالضبط ، تقوم بحساب قيمة المنحدر حيث يصبح h أصغر وأصغر ، إلى "الحد" حيث يذهب إلى الصفر. الميل المحسوب بهذه الطريقة هو مشتق y (x) ، والذي هو مكتوب كـ y '(x) أو dy / dx.
مشتق من وظيفة السلطة
يمكنك استخدام طريقة الميل / الحد لحساب مشتقات الدوال حيث تساوي y مع قوة a أو y (x) = x ^ a. على سبيل المثال ، إذا كانت y تساوي x مكعب ، y (x) = x ^ 3 ، ثم dy / dx هو الحد حيث يذهب h إلى صفر من / h. توسيع (x + h) ^ 3 يعطي / h ، مما يقلل إلى 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 بعد القسمة على h. في الحد حيث يذهب h إلى الصفر ، فإن جميع المصطلحات التي تحتوي على h تذهب أيضًا إلى الصفر. لذلك ، y (x) = dy / dx = 3x ^ 2. يمكنك القيام بذلك لقيم غير 3 ، وبشكل عام ، يمكنك إظهار أن d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
مشتق من سلسلة السلطة
يمكن كتابة العديد من الوظائف على أنها ما يسمى سلسلة الطاقة ، والتي هي عبارة عن مجموع مصطلحات عدد لا حصر له ، حيث يكون كل من النموذج C (n) x ^ n ، حيث x عبارة عن متغير ، n عدد صحيح و C ( n) هو رقم محدد لكل قيمة n. على سبيل المثال ، سلسلة الطاقة لوظيفة الجيب هي Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ... ، حيث "..." تعني استمرار المصطلحات في إلى ما لا نهاية. إذا كنت تعرف سلسلة الطاقة لأحد الوظائف ، يمكنك استخدام مشتق الطاقة x ^ n لحساب مشتق الوظيفة. على سبيل المثال ، مشتق Sin (x) يساوي 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ... ، والذي يحدث ليكون سلسلة الطاقة لـ Cos (x).
المشتقات من الجداول
تم العثور على مشتقات الوظائف الأساسية مثل القوى مثل x ^ a والوظائف الأسية ووظائف السجل ووظائف علم حساب المثلثات ، وذلك باستخدام طريقة الميل / الحد أو طريقة سلسلة الطاقة أو غيرها من الطرق. ثم يتم إدراج هذه المشتقات في الجداول. على سبيل المثال ، يمكنك البحث عن أن مشتق Sin (x) هو Cos (x). عندما تكون الوظائف المعقدة عبارة عن مجموعات من الوظائف الأساسية ، فإنك تحتاج إلى قواعد خاصة مثل قاعدة السلسلة وقاعدة المنتج ، والتي يتم تقديمها أيضًا في الجداول. على سبيل المثال ، يمكنك استخدام قاعدة السلسلة لتجد أن مشتق Sin (x ^ 2) هو 2xCos (x ^ 2). يمكنك استخدام قاعدة المنتج لتجد أن مشتق xSin (x) هو xCos (x) + Sin (x). باستخدام الجداول والقواعد البسيطة ، يمكنك العثور على مشتق من أي وظيفة. ولكن عندما تكون الوظيفة معقدة للغاية ، يلجأ العلماء أحيانًا إلى برامج الكمبيوتر للحصول على المساعدة.