المحتوى
تعد القدرة على حساب متوسط أو متوسط قيمة مجموعة من الأرقام مهمة في كل جانب من جوانب الحياة. إذا كنت أستاذاً يعيّن درجات رسائل إلى نتائج الامتحانات ومنحًا تقليديًا درجة من B إلى درجة منتصف العبوة ، فأنت بحاجة بوضوح إلى معرفة الشكل الذي يبدو عليه منتصف الحزمة عدديًا. أنت بحاجة أيضًا إلى طريقة لتحديد النتائج على أنها القيم المتطرفة بحيث يمكنك تحديد متى يستحق شخص ما A أو A + (خارج الدرجات الكاملة ، بشكل واضح) وكذلك ما يستحق التقدير الفاشل.
لهذا السبب ولأسباب ذات صلة ، تشتمل البيانات الكاملة حول المتوسطات على معلومات حول مدى تجمع النقاط حول متوسط الدرجات بشكل عام. يتم نقل هذه المعلومات باستخدام الانحراف المعياري و ، ذات الصلة ، و التباين من عينة إحصائية.
تدابير التباين
من المؤكد أنك سمعت أو رأيت مصطلح "متوسط" المستخدم في الإشارة إلى مجموعة من الأرقام أو نقاط البيانات ، وربما لديك فكرة عما يترجم إلى اللغة اليومية. على سبيل المثال ، إذا قرأت أن متوسط ارتفاع المرأة الأمريكية هو حوالي 5 4 "، فإنك تستنتج على الفور أن" المتوسط "يعني" نموذجي "، وأن حوالي نصف النساء في الولايات المتحدة أطول من هذا بينما نصفهم تقريباً أقصر.
من الناحية الرياضية ، المتوسط والوسيط هما نفس الشيء تمامًا: يمكنك إضافة القيم في مجموعة وتقسيمها على عدد العناصر في المجموعة. على سبيل المثال ، إذا كانت مجموعة من 25 علامة في نطاق اختبار مكون من 10 أسئلة تتراوح من 3 إلى 10 وأضيفت إلى 196 ، فإن متوسط (متوسط) النتيجة هو 196/25 أو 7.84.
الوسيط هو قيمة نقطة الوسط في مجموعة ، والرقم الذي يوجد به نصف القيم أعلى ونصف القيم أدناه. عادة ما تكون قريبة من المتوسط (المتوسط) ولكنها ليست الشيء نفسه.
صيغة التباين
إذا قمت بمراقبة مجموعة من 25 نتيجة مثل تلك المذكورة أعلاه ولم تر أي شيء تقريبًا سوى قيم 7 و 8 و 9 ، فمن المنطقي أن يبلغ المتوسط 8 نقاط تقريبًا ، لكن ماذا لو رأيت شيئًا تقريبًا سوى عشرات 6 و 10 ؟ أو خمسة درجات من 0 و 20 درجات من 9 أو 10؟ كل هذه يمكن أن تنتج نفس المعدل.
التباين هو مقياس لمدى انتشار النقاط في مجموعة البيانات حول الوسط. لحساب التباين يدويًا ، يمكنك أن تأخذ الفرق الحسابي بين كل نقطة من نقاط البيانات والمتوسط ، مربعا ، وتضيف مجموع المربعات وتقسيم النتيجة على نقطة واحدة أقل من عدد نقاط البيانات في العينة. يتم تقديم مثال على ذلك لاحقًا. يمكنك أيضًا استخدام برامج مثل Excel أو مواقع ويب مثل Rapid Tables (انظر الموارد لمواقع إضافية).
يشار إلى الفرق بواسطة σ2، وهو "سيغما" اليونانية مع الأس 2.
الانحراف المعياري
الانحراف المعياري للعينة هو ببساطة الجذر التربيعي للاختلاف. سبب استخدام المربعات عند حساب التباين هو أنه إذا قمت ببساطة بإضافة الفروق الفردية بين المتوسط وكل نقطة بيانات فردية ، يكون المجموع دائمًا صفريًا لأن بعض هذه الاختلافات موجبة وبعضها الآخر سلبي ، ويقوم بعضها بإلغاء بعضها البعض . تربيع كل مصطلح يزيل هذا المأزق.
نموذج التباين ومشكلة الانحراف المعياري
افترض أنك حصلت على 10 نقاط بيانات:
4, 7, 10, 5, 7, 6, 9, 8, 5, 9
العثور على المتوسط والتباين والانحراف المعياري.
أولاً ، أضف القيم العشرة معًا وقسمها على 10 للحصول على المتوسط (الوسط):
70/10 = 7.0
للحصول على التباين ، ضع مربعًا بين كل نقطة بيانات ومتوسط ، أضفها معًا واقسم النتيجة على (10 - 1) ، أو 9:
9 + 0 + 9 + . . . + 4 = 36
σ2= 36/9 = 4.0
الانحراف المعياري σ هو الجذر التربيعي 4.0 أو 2.0.