سلسلة تايلور هي طريقة عددية لتمثيل وظيفة معينة. هذه الطريقة لها تطبيق في العديد من المجالات الهندسية. في بعض الحالات ، مثل نقل الحرارة ، ينتج عن التحليل التفاضلي معادلة تناسب شكل سلسلة تايلور. يمكن أن تمثل سلسلة Taylor أيضًا جزءًا مكملاً إذا كان تكامل هذه الوظيفة غير موجود تحليليًا. هذه التمثيلات ليست قيمًا دقيقة ، لكن حساب مصطلحات أكثر في السلسلة سيجعل التقريب أكثر دقة.
اختيار مركز لسلسلة تايلور. هذا الرقم تعسفي ، لكن من الجيد اختيار مركز يوجد به تناظر في الوظيفة أو حيث تبسط القيمة للمركز رياضيات المشكلة. إذا كنت تقوم بحساب تمثيل سلسلة Taylor لـ f (x) = sin (x) ، فإن المركز الجيد للاستخدام هو = 0.
حدد عدد المصطلحات التي ترغب في حسابها. كلما زادت المصطلحات التي تستخدمها ، كلما كان تمثيلك أكثر دقة ، ولكن نظرًا لأن سلسلة Taylor عبارة عن سلسلة لا حصر لها ، فمن المستحيل تضمين جميع المصطلحات الممكنة. المثال sin (x) سيستخدم ستة مصطلحات.
احسب المشتقات التي ستحتاجها لهذه السلسلة. في هذا المثال ، يجب عليك حساب جميع المشتقات حتى المشتق السادس. نظرًا لأن سلسلة Taylor تبدأ من "n = 0" ، يجب عليك تضمين مشتق "0" ، والذي هو مجرد وظيفة أصلية. مشتق 0 = = sin (x) 1st = cos (x) 2nd = -sin (x) 3rd = -cos (x) 4th = sin (x) 5th = cos (x) 6th = -sin (x)
احسب القيمة لكل مشتق في المركز الذي اخترته. ستكون هذه القيم هي البسط للفترات الستة الأولى من سلسلة تايلور. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
استخدم الحسابات المشتقة والمركز لتحديد مصطلحات سلسلة تايلور. الفصل الاول ن = 0 ؛ (0/0!) (x - 0) ^ 0 = 0/1 الفصل الثاني ؛ ن = 1 ؛ (1/1!) (x - 0) ^ 1 = x / 1! الفصل الثالث ن = 2 ؛ (0/2!) (x - 0) ^ 2 = 0/2! الفصل الرابع ن = 3 ؛ (-1/3!) (x - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! الفصل الخامس ن = 4 ؛ (0/4!) (x - 0) ^ 4 = 0/4! الفصل السادس ن = 5 ؛ (1/5!) (x - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! سلسلة تايلور عن الخطيئة (x): sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (س ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
قم بإسقاط مصطلحات الصفر في السلسلة وتبسيط التعبير جبريًا لتحديد التمثيل المبسط للدالة. ستكون هذه سلسلة مختلفة تمامًا ، وبالتالي فإن قيم "n" المستخدمة سابقًا لم تعد مطبقة. الخطيئة (س) = 0 + س / 1! + 0 - (س ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ... الخطيئة (س) = س / 1! - (س ^ 3) / 3! + (س ^ 5) / 5! - ... نظرًا لأن الإشارات تتناوب بين الموجب والسالب ، يجب أن يكون المكون الأول للمعادلة المبسطة (-1) ^ n ، نظرًا لعدم وجود أرقام زوجية في السلسلة. ينتج عن المصطلح (-1) ^ n علامة سالبة عندما يكون n غريبًا وعلامة موجبة عندما تكون n متساوية. تمثيل سلسلة الأرقام الفردية هو (2n + 1). عندما ن = 0 ، هذا المصطلح يساوي 1 ؛ عندما ن = 1 ، هذا المصطلح يساوي 3 وهلم جرا إلى ما لا نهاية. في هذا المثال ، استخدم هذا التمثيل لأسس x والعوامل الموجودة في المقام
استخدم تمثيل الوظيفة بدلاً من الوظيفة الأصلية. بالنسبة لمعادلات أكثر تقدمًا وصعوبة ، قد تجعل سلسلة تايلور معادلة غير قابلة للحل قابلة للحل ، أو على الأقل تعطي حلًا رقميًا معقولًا.