المحتوى
- كيف تكتب عن مركز الجاذبية
- كيفية حساب CG للمثلث
- مركز الجاذبية الفورمولا لمستطيل
- مركز معادلة الجاذبية
- الحيل لإيجاد مركز الثقل
قبل مناقشة مركز الثقل ، لنفترض بعض المعلمات. واحد ، أن كنت تتعامل مع كائن thats على سطح الأرض ، وليس في الفضاء في مكان ما. وثانياً ، أن الجسم صغير إلى حد معقول - على سبيل المثال لا مركبة فضائية متوقفة على الأرض ، في انتظار الإقلاع.بمجرد القضاء على كل هذه التأثيرات خارج كوكب الأرض ، فأنت في وضع جيد لحساب مركز الثقل للكائنات الهندسية باستخدام صيغة بسيطة نسبيًا - وفي الواقع ، وبسبب تلك الشروط التي تم ضبطها للتو ، ستستخدم الصيغة نفسها للعثور على مركز الثقل كما للعثور على مركز الكتلة.
كيف تكتب عن مركز الجاذبية
عادة ما يتم الإشارة إلى مركز الثقل في المستوى ثنائي الأبعاد بواسطة الإحداثيات (xالفريق الاستشاري، ذالفريق الاستشاري) أو في بعض الأحيان عن طريق المتغيرات إكس و ذ مع شريط فوقهم. أيضا ، يتم اختصار مصطلح "مركز الثقل" في بعض الأحيان إلى cg.
كيفية حساب CG للمثلث
غالبًا ما يحتوي كتاب الرياضيات أو الفيزياء على مخططات بيانية لتحديد مركز توازن بعض الشخصيات. لكن بالنسبة لبعض الأشكال الهندسية الشائعة ، يمكنك استخدام صيغة مركز الثقل المناسبة للعثور على أشكال مركز الثقل.
بالنسبة للمثلثات ، يقع مركز الثقل عند نقطة تقاطع الوسطاء الثلاثة. إذا بدأت عند قمة رأس المثلث ورسمت خطًا مستقيمًا إلى منتصف المنتصف في الجانب الآخر ، فذلك يعني وسيطًا واحدًا. افعل الشيء نفسه بالنسبة للقمتين الأخريين ، والنقطة التي يتقاطع فيها الوسطاء الثلاثة هي مركز الثقل في المثلثات.
وبالطبع ، هناك صيغة لذلك. إذا كانت إحداثيات مركز مثلثات الثقل (سالفريق الاستشاري، ذالفريق الاستشاري) ، تجد إحداثياتها بالتالي:
إكسالفريق الاستشاري = (س1 + س2 + س3) ÷ 3
ذالفريق الاستشاري = (ذ1 + ذ2 + ذ3) ÷ 3
أين (س1، ذ1)، (إكس2، ذ2) و (س3، ذ3) هي إحداثيات المثلثات الثلاثة رؤوس. تحصل على اختيار الرأس الذي يتم تعيين أي رقم.
مركز الجاذبية الفورمولا لمستطيل
هل لاحظت أنه للعثور على مركز الثقل لمثلث ، قمت فقط بمتوسط قيمة إحداثيات س ، ثم متوسط قيمة إحداثيات ص ، واستخدمت النتائج كإحداثيات لمركز ثقلك؟
للعثور على مركز الثقل لمستطيل ، تفعل الشيء نفسه بالضبط. لكن لتسهيل العمليات الحسابية الخاصة بك ، افترض أن المستطيل موجه بشكل مباشر إلى مستوى الإحداثيات الديكارتية (بحيث لا يتم ضبطه بزاوية) ، وأن رأسه الأيسر السفلي يكون في أصل الرسم البياني. في هذه الحالة ، للعثور على (xالفريق الاستشاري، ذالفريق الاستشاري) بالنسبة للمستطيل ، كل ما عليك حسابه هو:
إكسالفريق الاستشاري = العرض ÷ 2
ذالفريق الاستشاري = الارتفاع ÷ 2
إذا كنت لا ترغب في نقل المستطيل الخاص بك إلى أصل المستوى الإحداثي أو إذا كان لأي سبب ليس مربعا بالضبط لمحاور الإحداثيات ، فيمكنك مواجهة هذه الصيغة الأكثر رعبا بعض الشيء ، ولكن لا تزال فعالة ، في متوسط جميع الإحداثيات السينية لها للعثور على قيمة سالفريق الاستشاري، ومتوسط كل إحداثيات y للعثور على قيمة yالفريق الاستشاري:
إكسالفريق الاستشاري = (س1 + س2 + س3 + س4) ÷ 4
ذالفريق الاستشاري = (ذ1 + ذ2 + ذ3 + ذ4) ÷ 4
مركز معادلة الجاذبية
ماذا لو كنت بحاجة إلى حساب مركز الثقل لشكل يناسب جميع الافتراضات المذكورة أولاً (في الأساس ، فأنت لا تحاول القيام بعلم الصواريخ الحرفية من خلال إيجاد مركز الثقل للأجسام الموجودة في الفضاء) ، لكنه لا يقع في أي من الفئات المذكورة للتو أو في المخططات في الجزء الخلفي من كتابك؟ بعد ذلك يمكنك تقسيم الشكل الخاص بك إلى أشكال مألوفة أكثر ، واستخدام المعادلات التالية للعثور على مركز الثقل الجماعي الخاص بها:
إكسالفريق الاستشاري = (أ)1إكس1 + أ2إكس2 +. . . + أنإكسن) ÷ (1 + أ2 +. . . + أن)
ذالفريق الاستشاري = (أ)1ذ1 + أ2ذ2 +. . . + أنذن) ÷ (1 + أ2 +. . . + أن)
أو بعبارة أخرى ، سالفريق الاستشاري يساوي مساحة القسم 1 ضعف موقعه على المحور السيني ، يضاف إلى مساحة القسم 2 ضعف موقعه ، وهكذا حتى قمت بإضافة موقع مساحة مرات جميع الأقسام ؛ ثم قسّم هذا المبلغ بالكامل على المساحة الكلية لجميع الأقسام. ثم تفعل الشيء نفسه بالنسبة y.
س: كيف يمكنني العثور على مساحة كل قسم؟ يتيح لك تقسيم الشكل المعقد أو غير المنتظم إلى مضلعات مألوفة لديك استخدام صيغ موحدة للعثور على المساحة. على سبيل المثال ، إذا قسمت هذا الشكل إلى قطع مستطيلة ، يمكنك استخدام طول الصيغة × العرض للعثور على مساحة كل قطعة.
س: ما هو "موقع" كل قسم؟ موقع كل قسم هو الإحداثي المناسب من مركز أقسام الثقل هذا. لذلك إذا كنت تريد ذ2 (موقع الجزء 2) ، تحتاج فعلاً إلى توفير الإحداثي y لمركز ثقل تلك الشرائح. مرة أخرى ، هذا هو السبب في قيامك بتقسيم كائن غريب الشكل إلى أشكال مألوفة أكثر ، لأنه يمكنك استخدام الصيغ التي تمت مناقشتها بالفعل للعثور على كل الأشكال مركز الثقل ، ثم استخراج الإحداثيات المناسبة.
س: أين يذهب الشكل الخاص بي على مستوى الإحداثيات؟ يمكنك اختيار المكان الذي يقع فيه شكلك على مستوى الإحداثي - فقط ضع في اعتبارك أن مركز ثقل إجاباتك سيكون مرتبطًا بنقطة المرجع نفسها. من الأسهل وضع الكائن الخاص بك في الربع الأول من الرسم البياني الخاص بك ، مع الحافة السفلية له مقابل المحور السيني والحافة اليسرى مقابل المحور ص ، بحيث تكون كل قيم x و y موجبة ، ولكنها صغيرة أيضًا بما يكفي لتكون يمكن التحكم فيها.
الحيل لإيجاد مركز الثقل
إذا كنت تتعامل مع كائن واحد ، فإن الحدس والمنطق الصغير هو في بعض الأحيان كل ما تحتاجه لإيجاد مركز ثقلها. على سبيل المثال ، إذا كنت تفكر في قرص مسطح ، فسيكون مركز الثقل هو مركز القرص. في الاسطوانة ، نقطة الوسط على محور الاسطوانات. لمستطيل (أو مربع) ، هو النقطة التي تتلاقى فيها الخطوط القطرية.
ربما لاحظت وجود نمط هنا: إذا كان الكائن المعني يحتوي على خط من التماثل ، فسيكون مركز الثقل على هذا الخط. وإذا كان يحتوي على محاور متعددة من التماثل ، فسيكون مركز الثقل هو المكان الذي تتقاطع فيه هذه المحاور.
أخيرًا ، إذا كنت تحاول العثور على مركز الثقل لكائن معقد حقًا ، فلديك خياران: إما أن تضرب أفضل تكاملات حساب التفاضل والتكامل الخاصة بك (انظر الموارد للحصول على تكامل ثلاثي يمثل مركز الثقل لكتلة غير موحدة) أو إدخال البيانات الخاصة بك إلى آلة حاسبة مركز الثقل لهذا الغرض. (انظر الموارد للحصول على مثال لآلة حاسبة مركز الثقل للطائرات التي يتم التحكم فيها بالراديو.)